대칭 주기 미분가능

[출제의도] 함수의 그래프의 성질을 이용하여 미분가능한 함수 구하는 문제를 해결한다. 함수 $g ( x )$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $g' ( 1 ) =$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = f' ( 1 )$ (가)에서 $1 < x < 2$일 때, $g ( x ) = f ( 2 - x )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} \frac{f ( 2 - x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ $\displaystyle = - \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} \frac{f ( 2 - x ) - f ( 1 )}{( 2 - x ) - 1}$ $= - f' ( 1 )$ 이다. 즉, $f' ( 1 ) = - f' ( 1 )$에서 $f' ( 1 ) = 0$ … ㉠ 또, 함수 $g ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $g' ( 0 ) =$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 0 )}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 0 )}{x}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 0 )}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {} \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = f' ( 0 )$ $- 1 < x < 0$일 때, $1 < x + 2 < 2$이고 $g ( x ) =$$g ( x + 2 )$$= f ( 2 - ( x + 2 ) ) = f ( - x )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {} \frac{g ( x ) - g ( 0 )}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {} \frac{f ( - x ) - f ( 0 )}{x}$ $\displaystyle = - \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {} \frac{f ( - x ) - f ( 0 )}{( - x ) - 0}$ $= - f' ( 0 )$ 이다. 즉, $f' ( 0 ) = - f' ( 0 )$에서 $f' ( 0 ) = 0$ … ㉡ ㉠, ㉡에서 $f' ( x ) = 3 x ( x - 1 ) = 3 x ^{2} - 3 x$이므로 $\displaystyle f ( x ) = x ^{3} - \frac{3}{2} x ^{2} + C$ ($C$는 적분상수) 함수 $g ( x )$는 주기가 $2$인 주기함수이므로 $g ( 6 ) - g ( 3 ) = g ( 0 ) - g ( 1 ) = f ( 0 ) - f ( 1 )$$\displaystyle = C - \left( 1 - \frac{3}{2} + C \right) = \frac{1}{2}$ 따라서 $p + q = 2 + 1 = 3$