대칭 이차함수 조합

[출제의도] 이차함수의 그래프를 활용하여 추론하기 함수 $f \left( x \right) = x ^{2} + ax + b$($a$, $b$는 상수)라 하면 함수 $g \left( x \right) = - x ^{2} + ax - b$ 곡선 $y = f \left( x \right)$의 꼭짓점의 $x$좌표는 $\displaystyle - \frac{a}{2}$ 곡선 $y = g \left( x \right)$의 꼭짓점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{a}{2}$ 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 교점의 $x$좌표 $\alpha$, $\beta$와 $\displaystyle - \frac{a}{2}$, $\displaystyle \frac{a}{2}$의 대소 관계에 의하여 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$가 서로 다른 두 실근을 갖는 경우는 다음과 같다.

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

$\text{ⓔ}$ $\displaystyle \frac{a}{2} \leq \alpha < \beta \leq - \frac{a}{2}$

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$

(ⅰ) $\text{ⓐ}$, $\text{ⓒ}$인 경우 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ (ⅱ) $\text{ⓑ}$인 경우 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ (ⅲ) $\text{ⓓ}$인 경우 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$ (ⅳ) $\text{ⓔ}$인 경우 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$ 또는 $2$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 $\text{ⓑ}$인 경우만 서로 다른 실근의 개수가 $3$이다. 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$의 두 실근이 $\alpha$, $\beta$이므로 $f \left( \alpha \right) = g \left( \alpha \right)$, $f \left( \beta \right) = g \left( \beta \right)$이고 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 2 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) = 2 x ^{2} + 2 b$ $\alpha = - \beta$, $b = \alpha \beta$ $\cdots \text{㉠}$ (ㄱ) $x < \alpha$ 또는 $x > \beta$일 때, 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$는 $f \left( x \right) = h \left( \beta \right)$이고 $x ^{2} + ax + b - h \left( \beta \right) = 0$의 한 근이 $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 나머지 한 근은 $- a - \beta$ (ㄴ) $\alpha \leq x \leq \beta$일 때, 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$는 $g \left( x \right) = h \left( \beta \right)$이고 $- x ^{2} + ax - b - h \left( \beta \right) = 0$의 한 근이 $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 나머지 한 근은 $a - \beta$ (ㄱ), (ㄴ)에 의하여 방정식 $h \left( x \right) = h \left( \beta \right)$의 서로 다른 세 실근은 $- {a - \beta}$, $a - \beta$, $\beta$ 조건 (가)에 의하여 $\left( - a - \beta \right) + \left( a - \beta \right) + \beta = - 4$ $\beta = 4$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의하여 $\alpha = - 4$, $b = - 16$ $\cdots \text{㉢}$

$\alpha$ $\alpha$ $\beta$ $y = h ( x )$

$\alpha \leq x \leq \beta$에서 함수 $g \left( x \right)$의 최솟값은 $g \left( \alpha \right)$이고 조건 (나)에 의하여 $g \left( \alpha \right) = g \left( - 4 \right) = - 16 - 4 a + 16 = - 8$ $a = 2$ $\cdots \text{㉣}$ $\text{㉡}$, $\text{㉢}$, $\text{㉣}$에 의하여 $f \left( x \right) = x ^{2} + 2 x - 16$ $g \left( x \right) = - x ^{2} + 2 x + 16$ $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} + 2 x - 16 & \left( x < - 4 \text{또는} x > 4 \right) \\ - x ^{2} + 2 x + 16 & \left( - 4 \leq x \leq 4 \right) \end{cases}}$ 따라서 $h \left( 2 \right) + h \left( 5 \right) = 35$