미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭 이차함수 도함수

문제

이차함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 직선 x=3x = 3에 대하여 대칭일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. y=f(x)y = f ( x )에서 xx의 값이 −1- 1에서 77까지 변할 때의 평균변화율은 00이다. ㄴ. 두 실수 a,ba , b에 대하여 a+b=6a + b = 6이면 f′(a)+f′(b)=0f' ( a ) + f' ( b ) = 0이다. ㄷ.∑k=115f′(k−3)=0\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} f' ( k - 3 ) = 0

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

이차함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 직선 x=3x = 3에 대하여 대칭이므로 f(x)=p(x−3)2+qf ( x ) = p ( x - 3 ) ^{2} + q (단, p≠0p \ne 0)로 놓으면 ㄱ. f(−1)=f(7)f ( - 1 ) = f ( 7 ) ∴f(7)−f(−1)7−(−1)=0\displaystyle \therefore \frac{f ( 7 ) - f ( - 1 )}{7 - ( - 1 )} = 0 (참) ㄴ. f′(x)=2p(x−3)f' ( x ) = 2 p ( x - 3 ) 이고 a+b=6a + b = 6에서 b=6−ab = 6 - a이므로 f′(a)=2p(a−3)f' ( a ) = 2 p ( a - 3 ) f′(b)=f′(6−a)=−2p(a−3)f' ( b ) = f' ( 6 - a ) = - 2 p ( a - 3 ) ∴f′(a)+f′(b)=0\therefore f' ( a ) + f' ( b ) = 0 (참) ㄷ. ㄴ에 의해 ∑k=115f′(k−3)\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{15} f' ( k - 3 ) =f′(−2)+f′(−1)+f′(0)+⋯+f′(12)= f' ( - 2 ) + f' ( - 1 ) + f' ( 0 ) + \cdots + f' ( 12 ) =f′(−2)+f′(8)+f′(−1)+f′(7)= f' ( - 2 ) + f' ( 8 ) + f' ( - 1 ) + f' ( 7 ) +f′(0)+f′(6)+f′(1)+f′(5)+ f' ( 0 ) + f' ( 6 ) + f' ( 1 ) + f' ( 5 ) +f′(2)+f′(4)+f′(3)+ f' ( 2 ) + f' ( 4 ) + f' ( 3 ) +f′(9)+f′(10)+f′(11)+f′(12)+ f' ( 9 ) + f' ( 10 ) + f' ( 11 ) + f' ( 12 ) =0+0+0+0+0+0= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0+f′(9)+f′(10)+f′(11)+f′(12)+ f' ( 9 ) + f' ( 10 ) + f' ( 11 ) + f' ( 12 ) =f′(9)+f′(10)+f′(11)+f′(12)= f' ( 9 ) + f' ( 10 ) + f' ( 11 ) + f' ( 12 ) =2p(9−3)+2p(10−3)= 2 p ( 9 - 3 ) + 2 p ( 10 - 3 )+2p(11−3)+2p(12−3)+ 2 p ( 11 - 3 ) + 2 p ( 12 - 3 ) =60p≠0= 60 p \ne 0 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

태그

#평균변화율#대칭#보기문제

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