확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭 확률밀도함수

문제

연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f ( x )$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f ( 2 + x ) = f ( 2 - x )$ 를 만족시킨다. 두 양수 $a$ 와 $b ( a < b )$ 에 대하여 $P ( 2 - a \leq X \leq 2 + b ) = p _{1}$ $P ( 2 + a \leq X \leq 2 + b ) = p _{2}$ 일 때, 확률 $P ( 2 - b \leq X \leq 2 + b )$ 를 $p _{1}$ 과 $p _{2}$ 로 나타낸 것은? (단, $p _{1} > 0$ , $p _{2} > 0$ 이다.) [4점] ① $p _{1} + p _{2}$ ② $\displaystyle \frac{p _{1} + p _{2}}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{p _{1} - p _{2}}{2}$ ④ $p _{1} - p _{2}$ ⑤ $p _{2} - p _{1}$

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①

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해설

$p _{1} - p _{2}$ $= P ( 2 - a \leq X \leq 2 + b ) - P ( 2 + a \leq X \leq 2 + b )$ $= P ( 2 - a \leq X \leq 2 + a )$ $\therefore$ $\displaystyle P ( 2 \leq X \leq 2 + a ) = \frac{p _{1} - p _{2}}{2}$ $\therefore$ $P ( 2 - b \leq X \leq 2 + b )$ $= 2 P ( 2 \leq X \leq 2 + b )$ $= 2 \left\{ P ( 2 \leq X \leq 2 + a ) + P ( 2 + a \leq X \leq 2 + b ) \right\}$ $\displaystyle = 2 \left( \frac{p _{1} - p _{2}}{2} + p _{2} \right)$ $\displaystyle = 2 \cdot \frac{p _{1} + p _{2}}{2} = p _{1} + p _{2}$

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