대칭 합성함수 보기

ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} f \left( x \right) = f \left( 1 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} \left\{ 2 f \left( 1 \right) - f \left( x \right) \right\} = f \left( 1 \right)$, $g \left( 1 \right) = 2 f \left( 1 \right) - f \left( 1 \right) = f \left( 1 \right)$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 1$에서 연속이다. 따라서 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( - 1 + h \right) + g \left( - 1 - h \right) - 6}{h} = a$에서 극한값이 존재하고 (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \left\{ g \left( - 1 + h \right) + g \left( - 1 - h \right) - 6 \right\} = 0$에서 $g \left( - 1 \right) = 3$ $\therefore$$f \left( - 1 \right) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( - 1 + h \right) + g \left( - 1 - h \right) - 6}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \left\{ \frac{g \left( - 1 + h \right) - g \left( - 1 \right)}{h} - \frac{g \left( - 1 - h \right) - g \left( - 1 \right)}{- h} \right\}$ $= g' \left( - 1 \right) - g' \left( - 1 \right)$ $= 0$ $\therefore$$a = 0$ 또한, $g \left( 1 \right) = 1$에서 $f \left( 1 \right) = 1$ $f \left( x \right) = x ^{2} + px + q$라 하면 $f \left( - 1 \right) = 3$에서 $1 - p + q = 3$, $p - q = \mathit{-} 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f \left( 1 \right) = 1$에서 $1 + p + q = 1$, $p + q = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $p = \mathit{-} 1$, $q = 1$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{2} - x + 1$이므로 $g \left( a \right) = g \left( 0 \right) = f \left( 0 \right) = 1$ (참) ㄷ. $b \neq 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( b + h \right) + g \left( b - h \right) - 6}{h} = 0$이므로 $b = 1$이다. $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( 1 + h \right) + g \left( 1 - h \right) - 6}{h} = 4$에서 극한값이 존재하고 (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \left\{ g \left( 1 + h \right) + g \left( 1 - h \right) - 6 \right\} = 0$에서 $g \left( 1 \right) = 3$ $\therefore$$f \left( 1 \right) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( 1 + h \right) + g \left( 1 - h \right) - 6}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{2 f \left( 1 \right) - f \left( 1 + h \right) + f \left( 1 - h \right) - 6}{h}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \frac{f \left( 1 - h \right) - f \left( 1 + h \right)}{h}$ $= \mathit{-} 2 f' \left( 1 \right)$ 따라서 $- 2 f' \left( 1 \right) = 4$에서 $f' \left( 1 \right) = \mathit{-} 2$ $f \left( x \right) = x ^{2} + rx + s$라 하면 $f' \left( x \right) = 2 x + r$ $f \left( 1 \right) = 3$에서 $1 + r + s = 3$, $r + s = 2$ $\cdots \cdots$ ㉢ $f' \left( 1 \right) = \mathit{-} 2$에서 $2 + r = \mathit{-} 2$, $r = \mathit{-} 4$ $r = \mathit{-} 4$를 ㉢에 대입하면 $s = 6$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{2} - 4 x + 6$이므로 $g \left( 4 \right) = 2 f \left( 1 \right) - f \left( 4 \right) = 6 - 6 = 0$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.