대칭 함수 분수방정식

[출제의도] 다항함수의 그래프를 이용하여 분수방정식 문제를 해결한다. $\displaystyle \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}}{x ^{2} - 4}$$\displaystyle = \frac{\left\{ f ( x ) + g ( x ) \right\} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\}}{( x + 2 ) ( x - 2 )}$$= 0$ … ㉠ 이므로 구하는 근은 방정식 $f ( x ) = g ( x )$ 또는 $f ( x ) = - g ( x )$의 근이다. (단, $x \ne 2$, $x \neq - 2$) ⅰ) $f ( x ) = g ( x )$일 때 방정식 $f ( x ) = g ( x )$의 근은 $- 5$, $- 2$, $1$, $4$ 이므로 이 중에서 분수방정식 ㉠의 근은 무연근 $- 2$를 제외한 $- 5$, $1$, $4$이다. ⅱ) $f ( x ) = - g ( x )$일 때 함수 $f ( x )$가 원점에 대하여 대칭이므로 $f ( x ) = - f ( - x )$이고, 함수 $g ( x )$가 $y$축에 대하여 대칭이므로 $g ( x ) = g ( - x )$이다. 따라서 $f ( x ) = - g ( x )$는 $f ( - x ) = g ( - x )$이다. 방정식 $f ( - x ) = g ( - x )$의 근은 $5$, $2$, $- 1$, $- 4$ 이므로 이 중에서 분수방정식 ㉠의 근은 무연근 $2$를 제외한 $5 , - 1 , - 4$이다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 분수방정식 $\displaystyle \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}}{x ^{2} - 4} = 0$의 근은 $- 5$, $- 4$, $- 1$, $1$, $4$, $5$이다. 따라서 모든 근의 곱은 $- 400$이다.