축전기 전하량 로그

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 주어진 식을 정리하면 $\displaystyle \log \frac{Q _{t}}{Q _{0}} = kt$ $\displaystyle \frac{Q _{t}}{Q _{0}} = 10 ^{kt}$ 충전된 전하량이 $Q _{0}$인 축전기에 전구를 연결한 지 $a$초 후에 남은 전하량은 $\displaystyle Q _{a} = \frac{1}{4} Q _{0}$이므로 $\displaystyle \frac{Q _{a}}{Q _{0}} = \frac{1}{4} = 10 ^{ak}$ … ㉠ 충전된 전하량이 $Q _{0}$인 축전기에 전구를 연결한 지 $b$초 후에 남은 전하량은 $\displaystyle Q _{b} = \frac{1}{10} Q _{0}$이므로 $\displaystyle \frac{Q _{b}}{Q _{0}} = \frac{1}{10} = 10 ^{bk}$ … ㉡ 충전된 전하량이 $Q _{0}$인 축전기에 전구를 연결한 지 $2 a + b$초 후에 남은 전하량은 $Q _{2 a + b}$라 하면 ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle \frac{Q _{2 a + b}}{Q _{0}} = 10 ^{\left( 2 a + b \right) k}$$= 10 ^{2 ak} 10 ^{bk}$$\displaystyle = \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} \times \frac{1}{10}$$\displaystyle = \frac{1}{160}$ ∴ $\displaystyle Q _{2 a + b} = \frac{1}{160} Q _{0}$ ∴ $p = 160$ [다른 풀이] $a$초 후에 남은 전하량은 $\displaystyle Q _{a} = \frac{1}{4} Q _{0}$이므로 $\displaystyle \log \frac{1}{4} Q _{0} - \log Q _{0} = ak$ $\displaystyle \log \frac{1}{4} = ak$ $b$초 후에 남은 전하량은 $\displaystyle Q _{b} = \frac{1}{10} Q _{0}$이므로 $\displaystyle \log \frac{1}{10} Q _{0} - \log Q _{0} = bk$ $\displaystyle \log \frac{1}{10} = bk$ $2 a + b$초 후에 남은 전하량은 $\displaystyle \frac{Q _{0}}{p}$이므로 $\displaystyle \log \frac{Q _{0}}{p} - \log Q _{0} = ( 2 a + b ) k$ $\displaystyle \log \frac{1}{p} = ( 2 a + b ) k = 2 ak + bk$ $\displaystyle = 2 \log \frac{1}{4} + \log \frac{1}{10}$ $\displaystyle = \log \frac{1}{160}$ ∴ $p = 160$