축이 같은 두 이차함수

[출제의도] 이차함수와 이차부등식의 관계 활용하여 추론하기 최고차항의 계수가 각각 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $2$인 두 이차함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프의 축은 직선 $x = p$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - p \right) ^{2} + a$, $g \left( x \right) = 2 \left( x - p \right) ^{2} + b$ 조건 (나)에서 $g \left( x \right) - f \left( x \right) \leq 0$ $\displaystyle g \left( x \right) - f \left( x \right) = \frac{3}{2} x ^{2} - 3 px + \frac{3}{2} p ^{2} + b - a \leq 0$ 부등식 $f \left( x \right) \geq g \left( x \right)$의 해가 $- 1 \leq x \leq 5$이므로 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{3}{2}$인 이차부등식은 $\displaystyle \frac{3}{2} \left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right) \leq 0$ $\displaystyle \frac{3}{2} x ^{2} - 6 x - \frac{15}{2} \leq 0$ $3 p = 6$ $\therefore$$p = 2$ $\displaystyle \frac{3}{2} \times 2 ^{2} + b - a = - \frac{15}{2}$ $\therefore$$\displaystyle a - b = \frac{27}{2}$ 따라서 $\displaystyle p \times \left\{ f \left( 2 \right) - g \left( 2 \right) \right\} = 2 \times \left( a - b \right) = 2 \times \frac{27}{2} = 27$