추 넣기 확률질량함수

[출제의도] 확률질량함수에 관한 추론 문제를 해결할 수 있는가? (ⅰ) $X = 3$인 사건은 주머니에 무게가 $2$인 추 $3$개가 들어 있는 경우이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 3 \right) = \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} = {\square {\frac{8}{27}}}$ (ⅱ) $X = 4$인 사건은 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 $4$이고 네 번째 시행에서 무게가 $2$인 추를 넣는 경우와 세 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 $5$인 추를 넣는 경우로 나눌 수 있다. 그러므로 $\mathrm{P} \left( \mathit{X} = 4 \right)$$\displaystyle = _{3} \mathrm{C} _{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} \left( \frac{2}{3} \right) \times \frac{2}{3} + _{3} C _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{1} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 4 \right) = {\square {\frac{4}{27}}} + _{3} \mathrm{C} _{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{1} \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}$ (ⅲ) $X = 5$인 사건은 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 $4$이고 다섯 번째 시행에서 무게가 $2$인 추를 넣는 경우와 네 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 $5$인 경우로 나눌 수 있다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 5 \right) = _{4} \mathrm{C} _{4} \left( \frac{1}{3} \right) ^{4} \left( \frac{2}{3} \right) ^{0} \times \frac{2}{3} + _{4} C _{3} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{1}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 5 \right) = _{4} \mathrm{C} _{4} \left( \frac{1}{3} \right) ^{4} \left( \frac{2}{3} \right) ^{0} \times \frac{2}{3} + {\square {\frac{8}{81}}}$ (ⅳ) $X = 6$인 사건은 다섯 번째 시행까지 넣은 추의 총무게가 $5$인 경우이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} = 6 \right) = \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}$ 이상에서 $\displaystyle a = \frac{8}{27}$, $\displaystyle b = \frac{4}{27}$, $\displaystyle c = \frac{8}{81}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{ab}{c} = \frac{\frac{8}{27} \times \frac{4}{27}}{\frac{8}{81}} = \frac{4}{9}$