최소근 함수 불연속

함수 $f \left( x \right)$는 곡선 $y = ax ^{2} + bx$에 따라 다음과 같이 $6$가지의 그래프의 개형을 갖는다.

조건 (가)를 만족시키는 함수 $f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 ⑤가 유일하다. (i) 곡선 $y = ax ^{2} + bx$의 꼭짓점의 $y$좌표는 $- 4$이므로 $\displaystyle y = ax ^{2} + bx = a \left( x + \frac{b}{2 a} \right) ^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a}$에서 $\displaystyle - \frac{b ^{2}}{4 a} = - 4$ $\cdots$㉠ (ii) 조건 (나)에 의하여 곡선 $y = ax ^{2} + bx$는 점 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} , - 3 \right)$을 지나고, 꼭짓점의 $x$좌표 $\displaystyle - \frac{b}{2 a}$는 $\displaystyle \frac{2}{3}$보다 크다. $4 a + 6 b = - 27$ $\cdots$㉡ $\displaystyle - \frac{b}{2 a} > \frac{2}{3}$ $\cdots$㉢ ㉠, ㉡에 의하여 $b ^{2} + 24 b + 108 = \left( b + 6 \right) \left( b + 18 \right) = 0$ $\displaystyle {\begin{cases} a = \frac{9}{4} \\ b = - 6 \end{cases}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{cases} a = \frac{81}{4} \\ b = - 18 \end{cases}}$ ㉢에 의하여 $\displaystyle a = \frac{9}{4}$, $b = - 6$이고 $\displaystyle - \frac{b}{2 a} = \frac{4}{3}$ 따라서

$\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{4}{3}$ $y = f ( x )$

$f \left( x \right) = 4$인 $x _{1}$은 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle g \left( 4 \right) = \frac{4}{3}$ $\displaystyle 30 \times g ( 4 ) = 30 \times \frac{4}{3} = 40$