최단거리 역함수 미분

점 $( t , 0 )$과 점 $( x , f ( x ) )$사이의 거리가 최소일 때, 두점 $( t , 0 )$, $( x , f ( x ) )$를 지나는 직선과 점 $( x , f ( x ) )$에서의 곡선 $y = f ( x )$의 접선은 서로 수직이다. 이때 $x = s$이므로 $\displaystyle \frac{f ( s )}{s - t} \times f' ( s ) = - 1$, $t = s + f ( s ) \times f' ( s ) \cdots \text{㉠}$ $h ( 1 ) = a$로 놓으면 $g ( a ) = 1$이고, $\displaystyle h' ( 1 ) = \frac{1}{g' ( a )}$이다 $t = a$일 때, $s = b$라 하면 $g ( a ) = f ( b ) = 1$에서 $e ^{b} + b = 1$, $b = 0$ ㉠에서 $a = 0 + f ( 0 ) \times f' ( 0 ) = 2$ 이다. ㉠의 양변을 $s$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dt}{ds}$$= 1 + f' ( s ) \times f' ( s ) + f ( s ) \times f'' ( s )$ $= 1 + ( e ^{s} + 1 ) ^{2} + ( e ^{s} + s ) e ^{s}$ 이므로 $t = 2$, $s = 0$일 때 $\displaystyle \frac{dt}{ds} = 6$이다. $g ( t ) = f ( s )$의 양변을 $s$에 대하여 미분하면 $\displaystyle g' ( t ) \times \frac{dt}{ds} = f' ( s )$ 이므로 $g' ( 2 ) \times 6 = f' ( 0 )$, $\displaystyle g' ( 2 ) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore h' ( 1 ) = \frac{1}{g' ( 2 )} = 3$