최대공약수가 일차식

[출제의도] 최대공약수의 뜻을 이해하기 두 다항식 $\mathrm{A} , B$의 최대공약수를 $\mathrm{G}$라 하고, $\mathrm{A} = \mathit{p} \mathrm{G}$, $\mathrm{B} = \mathit{q} \mathrm{G}$($p$와 $q$는 서로소)라 하면 $\mathrm{A} - B = \mathit{(} p - q ) \mathrm{G}$이다. 이 때, $x ^{3} + ax ^{2} + bx + 1 \cdots \cdots \cdots$㉠ $x ^{3} + bx ^{2} + ax + 1 \cdots \cdots \cdots$㉡라 할 때, $\text{㉠} - \text{㉡}$하면 $( a - b ) x ^{2} + ( b - a ) x$$= ( a - b ) x ( x - 1 ) \cdots \cdots \cdots$㉢ ㉢에서 ⅰ) $a = b$이면 ㉠, ㉡의 최대공약수는 삼차다항식이 되므로 모순이다. ⅱ) $x$는 ㉠, ㉡의 약수가 될 수 없으므로 공약수가 될 수 없다. 따라서ⅰ), ⅱ)에 의해서 최대공약수는 $x - 1$뿐이다. 인수정리에 의해 ㉠에서 $x = 1$을 대입하면 $a + b + 2 = 0$이므로 이 식을 만족하는 순서쌍은 $( 1 , - 3 )$이다.