공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

최대공약수 조건

문제

$x$ 에 대한 두 다항식 $A = x ^{2} + 2 x - 3$ 과 $B = x ^{3} + ax ^{2} + x + b$ 의 최대공약수가 $A$ 일 때, $a - b$ 의 값은? (단, $a$ , $b$ 는 상수이다.) [3점] ① $10$ ② $11$ ③ $12$ ④ $13$ ⑤ $14$

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①

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해설

[출제의도] 다항식의 최대공약수의 성질을 이용하여 문제 해결하기 $A = x ^{2} + 2 x - 3 = ( x - 1 ) ( x + 3 )$ $A$ 가 $A$ , $B$ 의 최대공약수이므로 $B$ 는 $A$ 로 나누어떨어진다. $\displaystyle B = x ^{3} + ax ^{2} + x + b = ( x - 1 ) ( x + 3 ) \left( x - \frac{b}{3} \right)$ 라 하면 $a = 4$ , $b = - 6$ $\therefore a - b = 10$

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