최대공약수 이차식

[출제의도] 다항식의 최대공약수를 이용하여 식의 최댓값을 구한다. 두 다항식을 $P ( x ) = x ^{3} + ( a - 1 ) x ^{2} + ( a ^{2} - a ) x - a ^{2}$ $Q ( x ) = x ^{3} + bx ^{2} - bx + 2 a ^{2}$ 이라 하자. $P ( 1 ) = 1 + ( a - 1 ) + ( a ^{2} - a ) - a ^{2}$$= 0$ 이므로 인수정리에 의하여 다항식 $P ( x )$는 일차식 $x - 1$을 인수로 가진다. 따라서 조립제법에 의하여

∴ $P ( x ) = ( x - 1 ) ( x ^{2} + ax + a ^{2} )$ $Q ( 1 ) = 1 + b - b + 2 a ^{2}$$= 1 + 2 a ^{2}$$\ne 0$ 이므로 다항식 $Q ( x )$는 일차식 $x - 1$을 인수로 갖지 않는다. 두 다항식 $P ( x )$와 $Q ( x )$의 최대공약수가 이차식이므로 $x ^{2} + ax + a ^{2}$이 최대공약수이다. 다항식 $Q ( x )$는 이차식 $x ^{2} + ax + a ^{2}$으로 나누어떨어지므로 그 몫을 $x + k$($k$는 상수)라 하면 $x ^{3} + bx ^{2} - bx + 2 a ^{2} = ( x ^{2} + ax + a ^{2} ) ( x + k )$ 양변의 계수를 비교하면 $b = a + k$, $- b = a ^{2} + ak$, $2 a ^{2} = ka ^{2}$ $2 a ^{2} = ka ^{2}$에서 $a = 0$ 또는 $k = 2$ $( i )$ $a = 0$일 때 $b = 0$ $( ii )$ $k = 2$일 때 $b = a + 2$, $- b = a ^{2} + 2 a$ $a ^{2} + 2 a = - ( a + 2 )$에서 $a ^{2} + 3 a + 2 = 0$ $a = - 2$ 또는 $a = - 1$ ∴ $a = - 2$, $b = 0$ 또는 $a = - 1$, $b = 1$ $( i )$, $( ii )$에서 $a ^{2} + b ^{2}$의 최댓값은 $( - 2 ) ^{2} + 0 ^{2} = 4$