공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

최대공약수 최소공배수 조건

문제

$x ^{2}$ 의 계수가 $1$ 인 세 이차식 $A , B , C$ 가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, 이차식 $A$ 는? [4점]

(가) $A , B$ 의 최대공약수는 $x - 1$ 이다. (나) $B , C$ 의 최대공약수는 $x + 2$ 이다. (다) $A , C$ 의 최소공배수는 $x ^{3} + 4 x ^{2} + x - 6$ 이다.

① $x ^{2} - x - 2$ ② $x ^{2} + x - 2$ ③ $x ^{2} - 2 x - 3$ ④ $x ^{2} + 2 x - 3$ ⑤ $x ^{2} + 5 x + 6$

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④

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해설

[출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 활용하여 식을 구할 수 있다. $A , C$ 의 최대공약수를 $G ( x )$ 라 하자. (가), (나)에 의하여 $A = ( x - 1 ) G ( x ) , C = ( x + 2 ) G ( x )$ 가 된다. $A , C$ 의 최소공배수가 $x ^{3} + 4 x ^{2} + x - 6 = ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )$ 이므로 $G ( x ) = x + 3$ 이다. $\therefore A = ( x - 1 ) ( x + 3 ) = x ^{2} + 2 x - 3$

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