공통수학2명제수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

최대 통과 차량 수

문제

차량들이 고속도로를 차선의 변경 없이 모두 같은 속력 $v ( m / \text{초} )$ 를 유지하면서 달리고 있다고 하자. 제동 거리를 고려한 최소 차간 거리는 $\displaystyle f ( v ) = \frac{1}{20} v ^{2} + \frac{1}{2} v + 5 ( m )$ 로 나타낼 수 있다. $60$ 초 동안 한 차선의 일정 지점을 통과할 수 있는 차량의 수는 최대 몇 대인가? (단, 차량의 길이는 무시한다.) [3점] ① $16$ ② $40$ ③ $60$ ④ $90$ ⑤ $225$

주관식 문항(25～30)

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②

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해설

일정 지점 $P$ 를 자동차 $A$ 가 통과한 후부터 자동차 $B$ 가 $P$ 를 통과할 때까지 걸리는 최소시간은 $\displaystyle \frac{f ( v )}{v} = \frac{\frac{1}{2} v ^{2} + \frac{1}{2} v + 5}{v}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} v + \frac{1}{2} + \frac{5}{v}$ $\displaystyle \geq \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{v}{20} \cdot \frac{5}{v}}$ $= 1.5$ 에서 $1.5$ 초 이상이다. 따라서, $60$ 초 동안 지점을 통과하는 차량의 최대수는 $\displaystyle \frac{60}{1.5} = 40 ( \text{대} )$

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