미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

최대 실근 함수 불연속

문제

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f' ( 0 ) = 0$ 인 사차함수 $f ( x )$ 가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g ( t )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f ( x ) = t$ 의 실근이 존재하지 않을 때, $g ( t ) = 0$ 이다. (나) 방정식 $f ( x ) = t$ 의 실근이 존재할 때, $g ( t )$ 는 $f ( x ) = t$ 의 실근의 최댓값이다.

함수 $g ( t )$ 가 $t = k$ , $t = \mathit{30}$ 에서 불연속이고 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k +} {g ( t )} \mathit{=} \mathit{-} 2$ , $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 30 +} {g ( t )} = 1$ 일 때, 실수 $k$ 의 값을 구하시오. (단, $k < 30$ ) [4점]

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해설

주어진 조건으로 부터 $y = f ( x )$ 는 그림과 같이 $x = - 2$ , $x = 1$ 일 때 각각 극솟값 $f ( - 2 ) = k$ , $f ( 1 ) = 30$ 을 갖는다. 또한 $f' ( 0 ) = 0$ 이다.

따라서 $f' ( x ) = 4 x ( x + 2 ) ( x - 1 ) = 4 x ^{3} + 4 x ^{2} - 8 x$ $\displaystyle f ( x ) = x ^{4} + \frac{4}{3} x ^{3} - 4 x ^{2} + C$ $\displaystyle f ( 1 ) = 1 + \frac{4}{3} - 4 + C = 30$ , $\displaystyle C = \frac{95}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle f ( x ) = x ^{4} + \frac{4}{3} x ^{3} - 4 x ^{2} + \frac{95}{3}$ $\displaystyle k = f ( - 2 ) = 16 - \frac{32}{3} - 16 + \frac{95}{3}$ $= 21$

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