최대 실근 함수 불연속

$f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ ($a$, $b$, $c$는 상수) 라 하면 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ 방정식 $f \left( \alpha \right) = f' \left( t \right) - 4 t ^{2} + 4$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 최댓값 $g \left( t \right)$는 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = f' \left( t \right) - 4 t ^{2} + 4$가 만나는 점의 $x$좌표 중 가장 큰 값이다.

따라서 함수 $g \left( t \right)$가 불연속이 되는 경우는 직선 $y = f' \left( t \right) - 4 t ^{2} + 4$가 곡선 $y = f \left( x \right)$의 극소인 점을 지날 때이다. 함수 $g \left( t \right)$가 $t = 3$에서만 불연속이므로 $h \left( t \right) = f' \left( t \right) - 4 t ^{2} + 4$라 할 때 함수 $h \left( t \right)$는 $t = 3$에서 최댓값을 갖고, 이 최댓값이 함수 $f \left( x \right)$의 극솟값과 같아야 한다. $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$이므로 $h \left( t \right)$$= 3 t ^{2} + 2 at + b - 4 t ^{2} + 4$ $= - t ^{2} + 2 at + b + 4$ $= - \left( t - a \right) ^{2} + a ^{2} + b + 4$ 함수 $h \left( t \right)$가 $t = 3$에서 최댓값을 가지므로 대칭축의 방정식은 $t = 3$이다. $\therefore$ $a = 3$ 또한 $g \left( 3 \right) = 1$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 극솟값을 갖는다. $f' \left( 1 \right) = 3 + 6 + b = 0$    $\therefore$$b = - 9$ 따라서 $f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x + c$이고, 함수 $h \left( t \right)$의 최댓값은 함수 $f \left( x \right)$의 극솟값 $f \left( 1 \right)$과 같으므로 $h \left( 3 \right) = f \left( 1 \right)$ $- 9 + 18 - 9 + 4 = 1 + 3 - 9 + c$ $\therefore$ $c = 9$ $\therefore$ $f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x + 9$ $\therefore$ $f \left( 2 \right) = 8 + 12 - 18 + 9 = 11$