최대 함수와 실근

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 삼각함수 추론하기 $f \left( x \right) = \sin x$이고 $g \left( x \right) = a \cos x + b$이다. 함수 $h \left( x \right)$는 $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} g \left( x \right) _{} & \left( f \left( x \right) \leq g \left( x \right) \right) \\ f \left( x \right) ^{} & \left( f \left( x \right) > g \left( x \right) \right) \end{cases}}$이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle 0 < c < \frac{\pi}{2}$인 어떤 실수 $c$에 대하여 $\displaystyle h \left( c \right) = h \left( c + \pi \right) = \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle f \left( c \right) = \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle g \left( c \right) = \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle f \left( c + \pi \right) = \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle g \left( c + \pi \right) = \frac{1}{2}$이다. 한편, $\displaystyle 0 < c < \frac{\pi}{2}$이면 $f \left( c + \pi \right) = \sin \left( c + \pi \right) = \mathit{-} \sin c < 0$이므로 $\displaystyle f \left( c + \pi \right) \ne \frac{1}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle g \left( c + \pi \right) = \frac{1}{2}$이다. $\cdots \cdots$㉠ 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = \pi$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle g \left( \pi - c \right) = \frac{1}{2}$이다. $\cdots \cdots$㉡ $0 \leq x \leq 2 \pi$에서 방정식 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{2}$의 실근의 개수는 최대 $2$이므로 ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle g \left( c \right) \ne \frac{1}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle f \left( c \right) = \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \sin c = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle c = \frac{\pi}{6}$이다. ㉠에 의하여 $\displaystyle g \left( \frac{7}{6} \pi \right) = \frac{1}{2}$이다. $\cdots \cdots$㉢ $\mathrm{\left( i \right)}$ $a > 0$인 경우

$\displaystyle y = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{4}{3} \pi$ $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \frac{7}{6} \pi$ $\displaystyle g \left( \frac{7}{6} \pi \right)$

함수 $h \left( x \right)$의 최솟값이 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$이 되기 위하여 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 점 $\displaystyle \left( \frac{4}{3} \pi , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$을 지나야 한다. $\displaystyle g \left( \frac{4}{3} \pi \right) = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$이고 $a > 0$일 때 $\displaystyle g \left( \frac{4}{3} \pi \right) > g \left( \frac{7}{6} \pi \right)$ 이므로 $\displaystyle g \left( \frac{7}{6} \pi \right) < \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 이는 ㉢과 모순이다. $\mathrm{\left( ii \right)}$ $a = 0$인 경우 ($g \left( x \right) = b$)

$\displaystyle y = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{4}{3} \pi$ $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \frac{7}{6} \pi$

함수 $h \left( x \right)$의 최솟값이 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$이 되기 위하여 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 점 $\displaystyle \left( \frac{4}{3} \pi , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$을 지나야 하므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 함수 $g \left( x \right)$가 상수함수이므로 $\displaystyle g \left( \frac{7}{6} \pi \right) = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 이는 ㉢과 모순이다. $\mathrm{\left( iii \right)}$ $a < 0$인 경우

$\displaystyle y = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{5}{3} \pi$ $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ $\displaystyle \frac{7}{6} \pi$

함수 $h \left( x \right)$의 최솟값이 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$이 되기 위하여 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프가 점 $\displaystyle \left( \frac{5}{3} \pi , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$을 지나야 한다. 즉 $\displaystyle g \left( \frac{5}{3} \pi \right) = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. $\cdots \cdots$㉣ ㉢, ㉣에 의하여 연립방정식 $\displaystyle {\begin{cases} a \cos \left( \frac{7 \pi}{6} \right) + b = \frac{1}{2} & \\ a \cos \left( \frac{5 \pi}{3} \right) + b = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2} & \end{cases}}$ 을 풀면 $a = \mathit{-} 1$, $\displaystyle b = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle g \left( x \right) = \mathit{-} \cos x + \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$이다. $\mathrm{\left( i \right)}$, $\mathrm{\left( ii \right)}$, $\mathrm{\left( iii \right)}$에 의하여 방정식 $h ( x ) = k$$\displaystyle \left( k > \frac{1}{2} \right)$가 서로 다른 세 실근을 가지는 경우는 그림과 같이 직선 $y = k$가 점 $\left( \pi , g \left( \pi \right) \right)$를 지날 때이다.

$\displaystyle y = \frac{1}{2}$

$\displaystyle g ( \pi ) = \mathit{-} \cos \pi + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$, 즉 $\displaystyle k = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{k}{b} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{- 2} = \mathit{-} \sqrt{3}$ 이므로 $\displaystyle a + 20 \left( \frac{k}{b} \right) ^{2} = \mathit{-} 1 + 20 \times 3 = 59$