최대 함수 수열 조건

[출제의도] 등차수열과 등비수열을 이용하여 함수의 식을 구한다. 함수 $g ( x ) = 2 x ^{2} - 3 x + 1 = ( x - 1 ) ( 2 x - 1 )$이므로 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프의 교점의 좌표는 $( 1 , 0 )$이다. 조건 (가)에서 $h ( 2 )$, $h ( 3 )$, $h ( 4 )$가 이 순서대로 등차수열을 이루려면 좌표평면 위의 세 점 $( 2 , h ( 2 ) )$, $( 3 , h ( 3 ) )$, $( 4 , h ( 4 ) )$는 직선 $y = f ( x )$ 위의 점이다. $h ( 2 ) = f ( 2 ) = k$, $h ( 3 ) = f ( 3 ) = 2 k$, $h ( 4 ) = f ( 4 ) = 3 k$ 조건 (나)에서 $h ( 3 )$, $h ( 4 )$, $h ( 5 )$가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $h ( 3 ) = 2 k$, $h ( 4 ) = 3 k$이므로 이 등비수열의 공비는 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle h ( 5 ) = \frac{9}{2} k$이다. 이때 $f ( 5 ) = 4 k$이고, $k \ne 0$이므로 $f ( 5 )$는 $h ( 5 )$의 값이 될 수 없다. 따라서 $h ( 5 ) = g ( 5 )$에서 $\displaystyle \frac{9}{2} k = 36$이므로 $k = 8$ [참고] $k = 0$이면 $f ( x ) = 0$이 되어 조건을 만족시키지 않는다.