치역과 고정점 조건 함수

[출제의도] 조합을 이용하여 함수의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (나)를 만족시키는 $a$의 값이 될 수 있는 $X$의 세 원소를 $a _{1} , a _{2} , a _{3}$이라 하고, 나머지 두 원소를 $b _{1} , b _{2}$라 하자. $X$의 세 원소 $a _{1} , a _{2} , a _{3}$을 택하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathrm{_{5}} C _{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ $b _{1} , b _{2}$ 중에서 한 개를 택하여 조건 (가)를 만족시키도록 (예를 들어 $b _{1}$을 택하면 $f ( b _{1} ) = b _{2}$이어야 한다.) 대응시키는 경우의 수는 $\mathrm{_{2}} C _{1} \times 1 = 2$ 남아있는 나머지 $1$개의 원소를 $a _{1} , a _{2} , a _{3}$ 중에서 $1$개에 대응시키는 경우의 수는 $\mathrm{_{3}} C _{1} = 3$ 따라서 구하는 함수의 개수는 $10 \times 2 \times 3 = 60$