치역 조건 함수 개수 빈칸

다음은 집합 $X = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \}$에 대하여 함수 $f : X \rightarrow X$의 치역 $A$가 $n ( A ) = 4$이고, 집합 $A$의 모든 원소의 합이 홀수인 함수 $f$의 개수를 구하는 과정이다. (i) 공역 $X$의 원소 중 짝수인 원소가 $2$개이므로 집합 $A$의 네 원소 중 세 원소는 홀수이고 한 원소는 짝수이다. 따라서 집합 $X$의 원소 중에서 집합 $A$의 네 원소를 택하는 경우의 수는 $2$이다.

(ii) 정의역 $X$를 $4$개의 부분집합으로 분할할 때, $4$개의 부분집합의 원소의 개수는 각각 $2 , 1 , 1 , 1$이 되어야 한다. 따라서 집합 $X$를 $4$개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수는 $\square {\text{(가)}}$이다.

(iii) (i)과 (ii)의 각 경우에 대하여 집합 $X$를 분할한 $4$개의 부분집합을 집합 $A$의 네 원소에 하나씩 대응시키는 경우의 수는 $\square {\text{(나)}}$이다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $\square {\text{(다)}}$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a , b , c$라 할 때, $a + b + c$의 값은? [4점]

①$498$②$502$③$506$④$510$⑤$514$