치역 조건 함수 개수

조건 (가)에서 $n ( \mathrm{A} ) = 1$ 또는 $n ( \mathrm{A} ) = 2$ 또는 $n ( \mathrm{A} ) = 3$ (다) 조건에서 $n ( \mathrm{A} ) = 1$인 경우에 반드시 $f ( x ) = x$인 경우가 생기므로 $n ( \mathrm{A} ) = 2$ 또는 $n ( \mathrm{A} ) = 3$이다. $\mathrm{B} \subset A$이므로 조건 (나)에서 $n ( \mathrm{A} ) = \mathit{n} ( \mathrm{B} )$이려면 $\mathrm{A} = B$ ㄱ) $n ( \mathrm{A} ) = 2$인 경우 $\mathrm{A} = B = \left\{ {}^{1,} 2 \right\}$라 하면 $f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 1$이어야 하고 $f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$는 $1$ 또는 $2$이어야 한다. 또, $n ( \mathrm{A} ) = 2$인 $\mathrm{A}$를 결정하는 방법은 ${} _{5} \mathrm{C} _{2}$이므로 $n ( \mathrm{A} ) = 2$인 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{C} _{2} \times 2 ^{3} = 80$ ㄴ) $n ( \mathrm{A} ) = 3$인 경우 $\mathrm{A} = B = \left\{ {}^{1,} 2 , 3 \right\}$라 하면, $f ( 1 ) = 2$라 하면, $f ( 3 ) = 1 , f ( 2 ) = 3$이어야 하고 $f ( 1 ) = 3$이라하면, $f ( 2 ) = 1 , f ( 3 ) = 2$이어야 한다. 이 때, $f ( 4 ) , f ( 5 )$의 함숫값은 $1$ 또는 $2$ 또는 $3$이고 $n ( \mathrm{A} ) = 3$인 $\mathrm{A}$를 결정하는 방법은 ${} _{5} \mathrm{C} _{3} \times 2 \times 3 ^{2} = 180$ 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $\therefore 80 + 180 = 260$