치역 조건 함수 개수

ⅰ) $n ( A ) = 3$이고 모든 원소의 합이 $3$의 배수인 집합 $A$는 $\left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $\left\{ 1 , 3 , 5 \right\}$, $\left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$, $\left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$ 이다. $A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$인 경우 $n ( B ) < 3$이므로 집합 $B$는 $\left\{ 1 \right\} , \left\{ 2 \right\} , \left\{ 3 \right\} , \left\{ 1 , 2 \right\} , \left\{ 1 , 3 \right\} , \left\{ 2 , 3 \right\}$ 이다. ($a$) $A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $B = \left\{ 1 \right\}$인 경우 집합 $A$의 원소인 $1 , 2 , 3$이 $1$에 대응하는 경우의 수는 $1$이고, $4 , 5$가 $2 , 3$에 하나씩 대응하는 경우의 수는 $2$이므로 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $B = \left\{ 1 \right\}$인 함수 $f$의 개수는 $1 \times 2 = {\square {2}}$이다. ($b$) $A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 \right\}$인 경우 $\left\{ f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) \right\} = \left\{ 1 , 2 \right\}$이고 $4 , 5$가 $1 , 2 , 3$에 대응하되 적어도 하나가 $3$에 대응하는 경우이므로 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 \right\}$인 함수 $f$의 개수는 $\displaystyle \left( {} _{2} \prod _{3} - 2 \right) \times \left( {} _{3} \prod _{2} - _{2} \prod _{2} \right) = 6 \times 5 = {\square {30}}$이다. $( a ) , ( b )$와 같은 경우가 각각 $3$가지이므로 $n ( A ) = 3$, $n ( B ) < 3$이고 집합 $A$의 모든 원소의 합이 $3$의 배수가 되도록 하는 함수 $f$의 개수는 $4 \times \left( 3 \times {\square {2}} + 3 \times {\square {30}} \right)$이다. (ⅱ) $n ( A ) = 4$이고 모든 원소의 합이 $3$의 배수인 집합 $A$는 $\left\{ 1 , 2 , 4 , 5 \right\}$뿐이므로 이 경우 $X - A = \left\{ 3 \right\}$에 의해 $n ( B ) = 3$이므로 집합 $B$는 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$, $\left\{ 1 , 2 , 5 \right\}$, $\left\{ 1 , 4 , 5 \right\}$, $\left\{ 2 , 4 , 5 \right\}$이다. $A = \left\{ 1 , 2 , 4 , 5 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$인 경우 $f ( 3 ) = 5$이고 집합 $A$의 원소 중 어떠한 두 원소는 서로 같은 함숫값을 가져야 하므로 $1 , 2 , 4$를 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값으로 정하는 경우의 수는 $\displaystyle 3 \times \frac{4 !}{2 !} = 3 \times 12 = 36$이다. 그러므로 $n ( A ) = 4$, $n ( B ) < 4$이고 집합 $A$의 모든 원소의 합이 $3$의 배수가 되도록 하는 함수 $f$의 개수는 $4 \times 36 = {\square {144}}$이다. (ⅲ) $n ( A ) = 5$인 경우 함수 $f$는 일대일대응이고 $n ( B ) = 5$이므로 $n ( A ) > n ( B )$를 만족시키는 함수 $f$는 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $4 \times \left( 3 \times {\square {2}} + 3 \times {\square {30}} \right) + {\square {144}}$이다. 따라서 $p = 2 , q = 30 , r = 144$이므로 $p + q + r = 176$