치역 조건 함수

[출제의도] 함수의 성질을 이용하여 추론하기 조건 (가)에서 함수 $f$의 치역의 원소의 개수가 $7$이므로 집합 $X$의 서로 다른 두 원소 $a$, $b$에 대하여 $f \left( a \right) = f \left( b \right) = n$을 만족하는 집합 $X$의 원소 $n$은 한 개 있다. 이때 집합 $X$의 원소 중 함숫값으로 사용되지 않은 원소를 $m$이라 하자. $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$이므로 조건 (나)에서 $f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right) + f \left( 5 \right) + f \left( 6 \right) + f \left( 7 \right) + f \left( 8 \right)$ $= 36 + n - m = 42$ $\therefore$ $n - m = 6$ 집합 $X$의 원소 $n$, $m$에 대하여 $n - m = 6$인 경우는 다음 두 가지이다. (ⅰ) $n = 8$, $m = 2$일 때 함수 $f$의 치역은 $\left\{ 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $n = 7$, $m = 1$일 때 함수 $f$의 치역은 $\left\{ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이므로 조건 (다)를 만족시킨다. 따라서 $n = 7$