치역 3개인 함수 개수

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 추론하기 함수$f : X \rightarrow X$의 개수는 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수와 같다. 조건 (가)에서 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$중 홀수의 개수를 $$$n$이라 하면 $n = 0$ 또는 $n = 2$ 또는 $n = 4$이다. (ⅰ) $n = 0$일 때 치역의 세 원소는 모두 짝수이고 집합 $X$의 원소 중 짝수는 $2$개뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $n = 2$일 때 조건 (나)에서 홀수인 두 함숫값이 서로 같으면 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 $1$개, 짝수인 원소가 $2$개이고 홀수인 두 함숫값이 서로 다르면 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 $2$개, 짝수인 원소가 $1$개다. (a) 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 $1$개, 짝수인 원소가 $2$개인 경우 집합 $X$의 원소인 $1 , 2 , 3 , 4 , 5$중에서 홀수 $1$개와 짝수 $2$개를 선택하는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{C} _{1} \times _{2} \mathrm{C} _{2} = 3$⋯ ㉠ 치역의 세 원소 중 홀수를 $a$, 두 짝수를 $b , c$라 하면 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 문자 $a , a , b , c , c$또는 문자 $a , a , b , b , c$를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{5 !}{2 ! \times 2 !} + \frac{5 !}{2 ! \times 2 !} = 60$  ⋯ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $3 \times 60 = 180$ (b) 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 $2$개, 짝수인 원소가 $1$개인 경우 집합 $X$의 원소인 $1 , 2 , 3 , 4 , 5$중에서 홀수 $2$개와 짝수 $1$개를 선택하는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{C} _{2} \times _{2} \mathrm{C} _{1} = 6$⋯ ㉢ 치역의 세 원소 중 두 홀수를 $a , b$, 짝수를 $c$라 하면 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 문자 $a , b , c , c , c$를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{5 !}{3 !} = 20$  ⋯ ㉣ ㉢, ㉣에 의하여 $6 \times 20 = 120$ (a), (b)에 의하여 $180 + 120 = 300$ (ⅲ) $n = 4$일 때 짝수인 함숫값이 $1$개이므로 조건 (나)에서 치역의 세 원소 중 홀수인 원소는 $2$개, 짝수인 원소는 $1$개다. 집합 $X$의 원소인 $1 , 2 , 3 , 4 , 5$중에서 홀수 $2$개와 짝수 $1$개를 선택하는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{C} _{2} \times _{2} \mathrm{C} _{1} = 6$⋯ ㉤ 치역의 세 원소 중 두 홀수를 $a , b$, 짝수를 $c$라 하면 $f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 )$의 값을 정하는 경우의 수는 문자 $a , b , b , b , c$ 또는 문자 $a , a , b , b , c$ 또는 $a , a , a , b , c$를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{5 !}{3 !} \times \frac{5 !}{2 ! \times 2 !} + \frac{5 !}{3 !} = 70$  ⋯ ㉥ ㉤, ㉥에 의하여 $6 \times 70 = 420$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 $f$의 개수는 $300 + 420 = 720$