치환적분과 조건

[출제의도] 적분법을 활용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다. $a \ne b$이므로 조건 (가)에서 $a \ne 0$, $b = 0$ 또는 $a = 0$, $b \ne 0$ (ⅰ) $a \ne 0$, $b = 0$일 때, $\sin x = t$로 놓으면 $x = 0$일 때 $t = 0$, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때 $t = 1$이고 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = \cos x$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {f ( x )} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {\left( \sin x \cos x \times e ^{a \sin x} \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {te ^{at} dt}$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{t}{a} e ^{at} \end{array} \right] _{0} ^{1} - \int _{0} ^{1} {\frac{1}{a} e ^{at} dt}$ $\displaystyle = \frac{e ^{a}}{a} - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{a ^{2}} e ^{at} \end{array} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{( a - 1 ) e ^{a} + 1}{a ^{2}}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{( a - 1 ) e ^{a} + 1}{a ^{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{a ^{2}} - 2 e ^{a}$ $a - 1 = \mathit{-} 2 a ^{2}$, $( a + 1 ) ( 2 a - 1 ) = 0$ $a = \mathit{-} 1$ 또는 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ (ⅱ) $a = 0$, $b \ne 0$일 때, $\cos x = t$로 놓으면 $x = 0$일 때 $t = 1$, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때 $t = 0$이고 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = - \sin x$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {f ( x )} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {\left( \sin x \cos x \times e ^{b \cos x} \right) dx}$$\displaystyle = - \int _{1} ^{0} {te ^{bt} dt}$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {te ^{bt} dt}$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{t}{b} e ^{bt} \end{array} \right] _{0} ^{1} - \int _{0} ^{1} {\frac{1}{b} e ^{bt} dt}$ $\displaystyle = \frac{e ^{b}}{b} - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{b ^{2}} e ^{bt} \end{array} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{( b - 1 ) e ^{b} + 1}{b ^{2}}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{( b - 1 ) e ^{b} + 1}{b ^{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{b ^{2}} - 2 e ^{b}$ $b - 1 = \mathit{-} 2 b ^{2}$, $( b + 1 ) ( 2 b - 1 ) = 0$ $b = \mathit{-} 1$ 또는 $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 두 실수 $a$, $b$의 순서쌍 $( a , b )$는 $( - 1 , 0 )$, $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , 0 \right)$, $( 0 , - 1 )$, $\displaystyle \left( 0 , \frac{1}{2} \right)$ 따라서 $a - b$의 최솟값은 $- 1 - 0 = \mathit{-} 1$