치환적분 계산

[출제의도] 치환적분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다. $\displaystyle \int _{0} ^{\sqrt{3}} {2 x \sqrt{x ^{2} + 1}} dx$에서 $t = x ^{2} + 1$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = 2 x$이고 $x = 0$일 때 $t = 1$, $\displaystyle x = \sqrt{3}$일 때 $t = 4$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\sqrt{3}} {2 x \sqrt{x ^{2} + 1}} dx$$\displaystyle = \int _{1} ^{4} {\sqrt{t}} dt$$\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} t ^{\frac{3}{2}} \right] _{1} ^{4}$$\displaystyle = \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$$\displaystyle = \frac{14}{3}$