미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

치환적분 대칭

문제

연속함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 yy축에 대하여 대칭이고, 모든 실수 aa에 대하여 ∫a−1a+1f(a−x)dx=24\displaystyle \int _{a - 1} ^{a + 1} {f ( a - x ) dx} = 24 일 때, ∫01f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}의 값은? [3점] ①1212②1414③1616④1818⑤2020

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①

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해설

[출제의도] 치환적분법을 이용하여 적분값을 구한다. t=a−xt = a - x로 놓으면 dxdt=−1\displaystyle \frac{dx}{dt} = - 1이고, x=a+1x = a + 1일 때 t=−1t = - 1, x=a−1x = a - 1일 때 t=1t = 1이므로 ∫a−1a+1f(a−x)dx=∫1−1f(t)(−1)dt\displaystyle \int _{a - 1} ^{a + 1} {} f ( a - x ) dx = \int _{1} ^{- 1} {} f ( t ) ( - 1 ) dt=∫−11f(t)dt\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {} f ( t ) dt 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 yy축에 대하여 대칭이므로 ∫−11f(t)dt\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} f ( t ) dt=2∫01f(t)dt=24\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {} f ( t ) dt = 24 따라서∫01f(x)dx=12\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx = 12

태그

#치환적분#우함수

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