미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

치환적분

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \int _{0} ^{x} \frac{1}{1 + t ^{6}} dt$ 에 대하여 상수 $a$ 가 $\displaystyle f ( a ) = \frac{1}{2}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \int _{0} ^{a} \frac{e ^{f ( x )}}{1 + x ^{6}} dx$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{\sqrt{e} - 1}{2}$ ② $\displaystyle \sqrt{e} - 1$ ③ $1$ ④ $\displaystyle \frac{\sqrt{e} + 1}{2}$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{e} + 1$

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②

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$\displaystyle f ( x ) = \int _{0} ^{x} {\frac{1}{1 + t ^{6}}} dt$ 이므로 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{1 + x ^{6}}$ $e ^{f(x)} = t$ 로 치환하면 $\displaystyle \int _{0} ^{a} {\frac{e ^{f(x)}}{1 + x ^{6}}} dx = \int _{1} ^{\sqrt{e}} {1} dt = \sqrt{e} - 1$ ( $\because e ^{f(x)} f' ( x ) dx = dt$ )

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