치환 항등식 삼차식

[출제의도] 항등식 이해하기 $\displaystyle f \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) = x ^{3} - 2 + \frac{1}{x ^{3}}$ $\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) ^{3} - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) - 2$ $\displaystyle = \left\{ \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) + 2 \right\} ^{3} - 3 \left\{ \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right) + 2 \right\} - 2$에서 $f ( x ) = ( x + 2 ) ^{3} - 3 ( x + 2 ) - 2$ $= x ^{3} + 6 x ^{2} + 9 x$가 된다. 따라서 $p = 6 , q = 9 , r = 0$이므로 $p q + r = 54$이다.