대수수학적 귀납법AI기본 문제 (3점 중반)

차가 2인 부분분수 합의 빈칸

문제

다음은 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )}$ 을 구하는 과정이다.

$\displaystyle \frac{1}{k ( k + 2 )} =$ (가) $\displaystyle \times \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right)$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )} =$ (가) $\displaystyle \times \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \right\}$ $=$ (가) $\times$ (나)

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 $p$ , (나)에 알맞은 식을 $g ( n )$ 이라 할 때, $p \times g ( 4 )$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{17}{60}$ ② $\displaystyle \frac{7}{15}$ ③ $\displaystyle \frac{17}{30}$ ④ $\displaystyle \frac{13}{20}$ ⑤ $\displaystyle \frac{17}{15}$

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③

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해설

$\displaystyle \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} = \frac{2}{k ( k + 2 )}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right)$ , 즉 $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right)$ 에서 $1$ , $\displaystyle \frac{1}{2}$ 과 $\displaystyle - \frac{1}{n + 1}$ , $\displaystyle - \frac{1}{n + 2}$ 만 남고 나머지는 소거되므로 $\displaystyle g ( n ) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}$ $\displaystyle g ( 4 ) = \frac{3}{2} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{45 - 6 - 5}{30} = \frac{17}{15}$ 따라서 $\displaystyle p \times g ( 4 ) = \frac{1}{2} \times \frac{17}{15} = \frac{17}{30}$ 이므로 답은 ③

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