미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

차분몫 함수의 연속

문제

다항함수 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 다음과 같이 정의하자. g(x)={f(x)−f(0)x(x≠0)f(0)(x=0)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} ( x \ne 0 ) \\ \\ f ( 0 ) ( x = 0 ) \end{cases} 이때, 함수 g(x)g ( x )가 x=0x = 0에서 연속이 되도록 하는 함수 f(x)f ( x )를 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. f(x)=xf ( x ) = x ㄴ. f(x)=x3+5x+5f ( x ) = x ^{3} + 5 x + 5 ㄷ. f(x)=(x+1)10−9xf ( x ) = ( x + 1 ) ^{10} - 9 x

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄱ, ㄴ⑤ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. g(x)={1(x≠0)0(x=0)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} 1 ( x \ne 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases}이므로 x=0x = 0에서 불연속 ㄴ. g(x)={x2+5(x≠0)5(x=0)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} x ^{2} + 5 ( x \ne 0 ) \\ 5 ( x = 0 ) \end{cases}이므로 x=0x = 0에서 연속 ㄷ. g(x)={∑r=21010Crxr−1+1(x≠0)1(x=0)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} \sum\limits _{r=2} ^{10} {}_{10} {\mathrm{C}} _{r} x ^{r-1} + 1 ( x \ne 0 ) \\ 1 ( x = 0 ) \end{cases}에서 lim⁡x→0g(x)=g(0)=1\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} g ( x ) = g ( 0 ) = 1이므로 x=0x = 0에서 연속

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