변의 길이가 연속인 삼각형의 각

각 $B$를 이등분하는 선을 그어 선분$AC$와 만나는 점을 $D$라 하면, 삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의하여 선분 $AD =$ $\displaystyle \frac{x ( x + 2 )}{2 x + 1}$ 선분 $\displaystyle CD = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{2 x + 1}$이다. 이 때 삼각형 ABD와 삼각형 ACB가 $AA$닮음 이므로

$x + 2 : x = 2 x + 1 : x + 2$이 성립하며 이를 풀면 $x = 4$이다. 그러므로 삼각형 $ABC$에 대하여 코사인 제이법칙을 사용하면, $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{4}$이다. $O \cdot S )$사인법칙과 삼각함수의 덧셈정리를 사용하여 푸는것도 가능하다. 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{x}{\sin \theta} = \frac{x + 2}{\sin 2 \theta} = \frac{x + 1}{\sin 3 \theta}$이며, $\displaystyle \frac{x}{\sin \theta} = \frac{x + 2}{\sin 2 \theta}$을 정리하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{x + 2}{2 x}$인 것을 알 수 있고, $\displaystyle \frac{x}{\sin \theta} = \frac{x + 1}{\sin 3 \theta}$을 정리하면 $\displaystyle 4 \cos ^{2} \theta = \frac{2 x + 1}{x}$인 것을 알 수 있다. 이 때 두식을 연립하면 $x = 4$이고 따라서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{4}$이다.