공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

변환된 영역 넓이

문제

점 P(x,y)P \left( x , y \right)가 집합 A={(x,y)∣1≤x2+y2≤4}A = \left\{ \left( x , y \right) | 1 \leq x ^{2} + y ^{2} \leq 4 \right\}의 원소일 때, 점 Q(2x+y,x−2y)Q \left( 2 x + y , x - 2 y \right) 가 나타내는 도형의 넓이를 aπa \pi라 하자. 이 때, aa의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 부등식의 영역의 넓이 구하기 Q(2x+y,x−2y)=Q(X,Y)Q \left( 2 x + y , x - 2 y \right) = Q \left( X , Y \right)라 하면 2x+y=X,x−2y=Yx=2X+Y5,y=X−2Y5가된다.\displaystyle \begin{aligned} 2 x + y = X , x - 2 y = Y \\ x = \frac{2 X + Y}{5} , y = \frac{X - 2 Y}{5} \text{가} \text{된다} . \end{aligned} 1≤x2+y2≤41 \leq x ^{2} + y ^{2} \leq 4에 위 식을 대입하여 정리하면 5≤X2+Y2≤205 \leq X ^{2} + Y ^{2} \leq 20이므로 점 QQ가 나타나는 영역은 아래 그림의 어두운 부분이고 넓이는 15π15 \pi이다. ∴a=15\therefore a = 15

태그

#일차변환#넓이

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