변곡점과 접선 개수 조건

[출제의도] 미분법을 이용하여 조건을 만족시키는 값을 구할 수 있는가? $g ( x ) = f ( x ) e ^{- x} , g' ( x ) = {f' ( x ) - f ( x )} e ^{- x}$ $g'' ( x ) = {f'' ( x ) - 2 f' ( x ) + f ( x )} e ^{- x}$ $f ( x ) = ax ^{2} + bx + c ( a \ne 0 )$로 놓으면 $g'' ( x ) = {ax ^{2} + ( b - 4 a ) x + 2 a - 2 b + c} e ^{- x}$ 조건 (가)에서 방정식 $g'' ( x ) = 0$의 두 근이 $x = 1 , x = 4$를 두 근으로 갖는다. 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \frac{4 a - b}{a} = 5 , \frac{2 a - 2 b + c}{a} = 4$이므로 $b = - a , c = 0$ 즉, $f ( x ) = ax ^{2} - ax$이고 $g ( x ) = ( ax ^{2} - ax ) e ^{- x}$ 한편, 곡선 $y = g ( x )$ 위의 점 $T ( t , g ( t ) )$에서 그은 접선의 방정식은 $y - g ( t ) = g' ( t ) ( x - t )$ 이 접선이 점 $( 0 , k )$를 지나므로 $k - g ( t ) = g' ( t ) ( 0 - t )$에서 $k = a ( t ^{3} - 2 t ^{2} ) e ^{- t}$ $h ( t ) = a ( t ^{3} - 2 t ^{2} ) e ^{- t}$로 놓으면 조건 (나)에 의하여 함수 $y = h ( t )$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 법위가 $- 1 < k < 0$이어야 한다. $a < 0$인 경우 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 다음과 같고, 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

$a > 0$인 경우 함수 $y = h ( t )$의 그래프의 개형은 다음과 같고, $h ( 1 ) = - 1$이어야 한다.

$h ( 1 ) = - ae ^{- 1} = - 1$에서 $a = e$ $\therefore g ( - 2 ) \times g ( 4 ) = f ( - 2 ) e ^{2} \times f ( 4 ) e ^{- 4} = 72 a ^{2} e ^{- 2} = 72 e ^{2} e ^{- 2} = 72$