미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

변곡점과 적분 함수

문제

최고차항의 계수가 11인 이차함수 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )가 g(x)=∫0xtf(t)dt\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {\frac{t}{f ( t )} dt} 일 때, 함수 g(x)g ( x )는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 xx에 대하여 g′(−x)=−g′(x)g' ( - x ) = - g' ( x )이다. (나) 점 (1,g(1))\left( 1 , g ( 1 ) \right)은 곡선 y=g(x)y = g ( x )의 변곡점이다.

g(1)g ( 1 )의 값은? [4점] ①15ln⁡2\displaystyle \frac{1}{5} \ln 2②14ln⁡2\displaystyle \frac{1}{4} \ln 2③13ln⁡2\displaystyle \frac{1}{3} \ln 2④12ln⁡2\displaystyle \frac{1}{2} \ln 2⑤ln⁡2\ln 2

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④

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해설

[출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수 추론하기 g′(x)=xf(x)\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{x}{f \left( x \right)}, g′(−x)=−g′(x)g' \left( - x \right) = - g' \left( x \right)이므로 f(−x)=f(x)f \left( - x \right) = f \left( x \right)이다. f(x)f ( x )는 최고차항의 계수가 11인 이차함수이므로 f(x)=x2+kf ( x ) = x ^{2} + k (단, kk는 상수이다.) 점 (1,g(1))\left( 1 , g ( 1 ) \right)은 곡선 y=g(x)y = g ( x )의 변곡점이므로 g′′(x)=f(x)−xf′(x){f(x)}2\displaystyle g'' \left( x \right) = \frac{f ( x ) - xf' \left( x \right)}{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2}} g′′(1)=f(1)−f′(1){f(1)}2=1+k−2(1+k)2=0\displaystyle g'' \left( 1 \right) = \frac{f ( 1 ) - f' \left( 1 \right)}{\left\{ f ( 1 ) \right\} ^{2}} = \frac{1 + k - 2}{( 1 + k ) ^{2}} = 0 k=1k = 1이므로 f(x)=x2+1f ( x ) = x ^{2} + 1 따라서 g(1)g ( 1 )=∫01tt2+1dt\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\frac{t}{t ^{2} + 1}} dt=12[ln⁡(t2+1)]01\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \ln \left( t ^{2} + 1 \right) \right] _{0} ^{1}=12ln⁡2\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\ln} 2

태그

#변곡점#정적분 함수#로그 적분

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