변곡점 좌표 곱

[출제의도] 곡선의 변곡점의 좌표를 구할 수 있는가? $f ( x ) = x e ^{x}$에서 $f' ( x ) = e ^{x} + x e ^{x} = ( x + 1 ) e ^{x}$ $f'' ( x ) = e ^{x} + ( x + 1 ) e ^{x} = ( x + 2 ) e ^{x}$ $f'' ( x ) = 0$에서 $( x + 2 ) e ^{x} = 0 , x = - 2$ $f'' ( - 2 ) = 0$이고, $x = - 2$의 좌우에서 $f'' ( x )$의 부호가 변하므로 곡선 $y = f ( x )$의 변곡점의 좌표는 $\left( - 2 , f ( - 2 ) \right)$이다. 이때, $\displaystyle f ( - 2 ) = - 2 e ^{-2} = - \frac{2}{e ^{2}}$이므로 $\displaystyle a = - 2 , b = - \frac{2}{e ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle ab = \left( - 2 \right) \times \left( - \frac{2}{e ^{2}} \right) = \frac{4}{e ^{2}}$