미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

변곡점 접선 보기

문제

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 f(x)f ( x )에 대하여 점 A(a,f(a))\mathrm{A} ( \mathit{a} , f ( a ) )를 곡선 y=f(x)y = f ( x )의 변곡점이라 하고, 곡선 y=f(x)y = f ( x ) 위의 점 A\mathrm{A}에서의 접선의 방정식을 y=g(x)y = g ( x )라 하자. 직선 y=g(x)y = g ( x )가 함수 f(x)f ( x )의 그래프와 점 B(b,f(b))\mathrm{B} ( \mathit{b} , f ( b ) )에서 접할 때, 함수 h(x)h ( x )를 h(x)=f(x)−g(x)h ( x ) = f ( x ) - g ( x )라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, a≠ba \neq b이다.) [4점]

[ 보 기 ]
ㄱ. h′(b)=0h' ( b ) = 0 ㄴ. 방정식 h′(x)=0h' ( x ) = 0은 33개 이상의 실근을 갖는다. ㄷ. 점 (a,h(a))( a , h ( a ) )는 곡선 y=h(x)y = h ( x )의 변곡점이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

y=g(x)y = g ( x )가 f(x)f ( x )의 점 (a,f(a))( a , f ( a ) )에서의 접선이므로 g(x)=f′(a)(x−a)+f(a)g ( x ) = f' ( a ) ( x - a ) + f ( a ) 또, g(x)g ( x )가 점 B(b,f(b))B ( b , f ( b ) )에서 f(x)f ( x )에 접하므로 f′(a)=g′(b)=f′(b)f' ( a ) = g' ( b ) = f' ( b ) h(x)=f(x)−g(x)h ( x ) = f ( x ) - g ( x )에서 h′(x)=f′(x)−g′(x)h' ( x ) = f' ( x ) - g' ( x ) ㄱ. h′(b)=f′(b)−g′(b)=0h' ( b ) = f' ( b ) - g' ( b ) = 0 ㄴ. h(a)=h(b)=0h ( a ) = h ( b ) = 0이고 h(x)h ( x )가 미분가능하므로 로올의 정리에 의하여, h′(c)=0h' ( c ) = 0인 cc가 개구간 (a,b)( a , b )에 적어도 하나 존재한다. ∴h′(a)=h′(b)=h′(c)=0\therefore h' ( a ) = h' ( b ) = h' ( c ) = 0이므로 h′(x)=0h' ( x ) = 0은 적어도 33개의 실근을 갖는다. ㄷ. h′′(x)=f′′(x)h'' ( x ) = f'' ( x )이고, h′′(a)=f′′(a)=0h'' ( a ) = f'' ( a ) = 0이다. 또한, 점 (a,f(a))( a , f ( a ) )는 y=f(x)y = f ( x )의 변곡점이므로 f′′(x)f'' ( x )는 x=ax = a의 좌우에서 부호가 반대이다. 따라서, h′′(x)h'' ( x )도 같으므로 (a,h(a))( a , h ( a ) )는 h(x)h ( x )의 변곡점이다.

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