변곡점 하나 조건

$f' ( x ) = 3 k \cos kx + 12 x ^{2}$ $f'' ( x ) = - 3 k ^{2} \sin kx + 24 x$ 함수 $f ( x )$의 변곡점이 오직 하나 존재하므로 $f'' ( x )$의 부호가 변하는 지점은 하나이다. 이때 두 함수 $g ( x ) = 3 k ^{2} \sin kx$와 $h ( x ) = 24 x$의 위치관계를 보면

$h ( 0 ) = g ( 0 )$이고, $h ( x ) - g ( x )$는 $x = 0$에서 부호가 변하므로 $f ( x )$는 $x = 0$에서 변곡점을 갖고, 그 이외의 변곡점은 존재하지 않는다. 따라서 $x \geq 0$일 때, $f'' ( x ) = h ( x ) - g ( x ) \geq 0$이고, $x \leq 0$일 때, $f'' ( x ) \leq 0$이다. $\cdots \cdots ( 1 )$ $y = g ( x )$의 $x = 0$에서의 접선이 $y = mx$일 때, 조건 (1)을 만족하려면 $24 \geq m$이다. $m = g' ( 0 ) = 3 k ^{3}$이므로 $24 \geq 3 k ^{3}$에서 $k \leq 2$이다. $k$의 최댓값은 $2$