변곡점

[출제의도] 이해능력-미분법 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{x ^{2} + 1} ( x > 0 )$으로 놓으면 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{x ^{2} + 1 - x ( 2 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ $\displaystyle f'' ( x ) = \frac{- 2 x ( x ^{2} + 1 ) ^{2} - ( 1 - x ^{2} ) \times 2 ( x ^{2} + 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}$ $\displaystyle = \frac{2 x ^{3} - 6 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} = \frac{2 x ( x ^{2} - 3 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}$ $f'' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = - \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{3}$ 이때 $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \sqrt{3}$이고, $\displaystyle x = \sqrt{3}$의 좌우에서 $f'' ( x )$의 부호가 바뀌므로 곡선 $y = f ( x )$의 변곡점은 $\displaystyle \left( \sqrt{3} , \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle a = \sqrt{3}$, $\displaystyle b = \frac{\sqrt{3}}{4}$ $\displaystyle a + b = \frac{5 \sqrt{3}}{4}$