분수식의 합의 최솟값과 코시-슈바르츠

실마리: 세 분모의 합 $( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) = 2 ( a + b + c )$가 일정하므로, 분모를 한 묶음으로 두는 코시-슈바르츠 부등식을 생각한다. $b + c = p$, $c + a = q$, $a + b = r$라 하면 $p$, $q$, $r$는 양수이고 $p + q + r = 2 ( a + b + c ) = 12$이다. 코시-슈바르츠 부등식에서 두 묶음을 $\displaystyle \sqrt{p} , \sqrt{q} , \sqrt{r}$와 $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{p}} , \frac{b}{\sqrt{q}} , \frac{c}{\sqrt{r}}$로 잡으면 $\displaystyle ( p + q + r ) \left( \frac{a ^{2}}{p} + \frac{b ^{2}}{q} + \frac{c ^{2}}{r} \right) \geq \left( \sqrt{p} \times \frac{a}{\sqrt{p}} + \sqrt{q} \times \frac{b}{\sqrt{q}} + \sqrt{r} \times \frac{c}{\sqrt{r}} \right) ^{2} = ( a + b + c ) ^{2}$ 즉 $\displaystyle 12 \left( \frac{a ^{2}}{b + c} + \frac{b ^{2}}{c + a} + \frac{c ^{2}}{a + b} \right) \geq 36$ $\displaystyle \frac{a ^{2}}{b + c} + \frac{b ^{2}}{c + a} + \frac{c ^{2}}{a + b} \geq 3$ 등호는 $\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$, 즉 $\displaystyle \frac{a}{b + c} = \frac{b}{c + a} = \frac{c}{a + b}$일 때 성립하고, $a = b = c = 2$가 이를 만족시킨다. (검산) $a = b = c = 2$이면 각 항이 $\displaystyle \frac{4}{4} = 1$이므로 합은 $3$이고, $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$이면 $\displaystyle \frac{9}{3} + \frac{4}{4} + \frac{1}{5} = \frac{21}{5} > 3$이다. 따라서 최솟값은 $3$