공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

분수식 합과 곱 증명 빈칸

문제

다음은 x=b−c1+bc\displaystyle x = \frac{b - c}{1 + bc}, y=c−a1+ca\displaystyle y = \frac{c - a}{1 + ca}, z=a−b1+ab\displaystyle z = \frac{a - b}{1 + ab} 일 때, x+y+z=□(가)x + y + z = {\square {( \text{가} )}} 임을 증명하는 과정이다.

<증명> x=b−c1+bc\displaystyle x = \frac{b - c}{1 + bc} 에서 (1+bc)x=b−c( 1 + bc ) x = b - c 이고, 정리하면 (bx+1)c=b−x( bx + 1 ) c = b - x …… ① 같은 방법으로 y=c−a1+ca\displaystyle y = \frac{c - a}{1 + ca} 에서 (ay−1)c=−a−y( ay - 1 ) c = - a - y …… ② ①과 ②에서 (a+y)(bx+1)c=( a + y ) ( bx + 1 ) c =□(나)(ay−1)c{\square {( \text{나} )}} ( ay - 1 ) c …… ③ (ⅰ) ③에서 c≠0c \ne 0 이면 (a+y)(bx+1)=( a + y ) ( bx + 1 ) =□(나)(ay−1){\square {( \text{나} )}} ( ay - 1 ) 이고 정리하면 (ab+1)(x+y)=( ab + 1 ) ( x + y ) =□(다)(xy−1){\square {( \text{다} )}} ( xy - 1 ) ab+1≠0ab + 1 \ne 0 이므로 x+y=□(다)ab+1(xy−1)\displaystyle x + y = \frac{{\square {( \text{다} )}}}{ab + 1} ( xy - 1 ) x+y+z=□(가)x + y + z = {\square {( \text{가} )}} (ⅱ) ③에서 c=0c = 0 이면 (가) x+y+z=x + y + z = 따라서 x=b−c1+bc\displaystyle x = \frac{b - c}{1 + bc}, y=c−a1+ca\displaystyle y = \frac{c - a}{1 + ca}, z=a−b1+ab\displaystyle z = \frac{a - b}{1 + ab} 일 때, x+y+z=□(가)x + y + z = {\square {( \text{가} )}} 이다.

(ⅰ) ③에서 c≠0c \ne 0 이면 (a+y)(bx+1)=( a + y ) ( bx + 1 ) =□(나)(ay−1){\square {( \text{나} )}} ( ay - 1 ) 이고 정리하면 (ab+1)(x+y)=( ab + 1 ) ( x + y ) =□(다)(xy−1){\square {( \text{다} )}} ( xy - 1 ) ab+1≠0ab + 1 \ne 0 이므로 x+y=□(다)ab+1(xy−1)\displaystyle x + y = \frac{{\square {( \text{다} )}}}{ab + 1} ( xy - 1 ) x+y+z=□(가)x + y + z = {\square {( \text{가} )}}

(ⅱ) ③에서 c=0c = 0 이면 (가) x=bx = b, y=−ay = - a, z=a−b1+ab\displaystyle z = \frac{a - b}{1 + ab} 이므로 x+y+z=x + y + z =

따라서 x=b−c1+bc\displaystyle x = \frac{b - c}{1 + bc}, y=c−a1+ca\displaystyle y = \frac{c - a}{1 + ca}, z=a−b1+ab\displaystyle z = \frac{a - b}{1 + ab} 일 때, x+y+z=□(가)x + y + z = {\square {( \text{가} )}} 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①xyzxyzx−bx - ba−ba - b
②xyzxyzb−xb - xa−ba - b
③xyzxyzx−bx - ba+ba + b
④xy+yz+zxxy + yz + zxx−bx - ba−ba - b
⑤xy+yz+zxxy + yz + zxb−xb - xa+ba + b
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①

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해설

[출제의도] 다항식의 연산의 성질을 이용하여 추론하기 x=b−c1+bc\displaystyle x = \frac{b - c}{1 + bc} 에서 (1+bc)x=b−c( 1 + bc ) x = b - c 이고, 정리하면 (bx+1)c=b−x( bx + 1 ) c = b - x …① 같은 방법으로 y=c−a1+ca\displaystyle y = \frac{c - a}{1 + ca} 에서 (ay−1)c=−a−y( ay - 1 ) c = - a - y … ② ①과 ②에서 (a+y)(bx+1)c=( a + y ) ( bx + 1 ) c =(x−b)(ay−1)c( x - b ) ( ay - 1 ) c … ③ (ⅰ) ③에서 c≠0c \ne 0이면 (a+y)(bx+1)=( a + y ) ( bx + 1 ) =(x−b)(ay−1)( x - b ) ( ay - 1 ) 이고 정리하면 (ab+1)(x+y)=( ab + 1 ) ( x + y ) =(a−b)(xy−1)( a - b ) ( xy - 1 ) ab+1≠0ab + 1 \ne 0 이므로 x+y=a−bab+1(xy−1)\displaystyle x + y = \frac{a - b}{ab + 1} ( xy - 1 ) x+y+z=xyzx + y + z = xyz (ⅱ) ③에서 c=0c = 0 이면 x=bx = b, y=−ay = - a, z=a−b1+ab\displaystyle z = \frac{a - b}{1 + ab} 이므로 x+y+z=xyzx + y + z = xyz 따라서 x=b−c1+bc\displaystyle x = \frac{b - c}{1 + bc}, y=c−a1+ca\displaystyle y = \frac{c - a}{1 + ca}, z=a−b1+ab\displaystyle z = \frac{a - b}{1 + ab} 일 때, x+y+z=xyzx + y + z = xyz 이다.

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#유리식#증명#빈칸 추론

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