분수꼴 점화식과 부분분수 합

$a _{1} = 1 > 0$이고 $a _{n} > 0$이면 $a _{n + 1} > 0$이므로 모든 항이 양수이다. $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$의 양변의 역수를 취하면 $\displaystyle \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + 2$ 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}$은 첫째항이 $1$, 공차가 $2$인 등차수열이므로 $\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = 2 n - 1$, 즉 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ $\displaystyle a _{k} a _{k + 1} = \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} \right)$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} a _{k + 1} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 m + 1} \right) = \frac{m}{2 m + 1}$ $\displaystyle \frac{m}{2 m + 1} = \frac{12}{25}$에서 $25 m = 24 m + 12$ 따라서 $m = 12$