분수함수 극값 합

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 함수의 극댓값과 극솟값의 합을 구한다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1}$에서 $f' ( x )$$\displaystyle = \frac{( x ^{2} - x + 1 ) - ( x - 1 ) ( 2 x - 1 )}{( x ^{2} - x + 1 ) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{- x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} - x + 1 ) ^{2}}$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극소이고, $x = 2$에서 극대이므로 극댓값과 극솟값의 합은 $f ( 2 ) + f ( 0 )$$\displaystyle = \frac{2 - 1}{2 ^{2} - 2 + 1} + \frac{0 - 1}{0 ^{2} - 0 + 1}$$\displaystyle = \frac{1}{3} + ( - 1 )$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{2}{3}$