분수함수 g(t) 보기

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-미분법 ㄱ. (참) $\displaystyle f ( x ) = \frac{nx}{9 + 4 x ^{2}}$에서 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{n ( 9 + 4 x ^{2} ) - nx \times 8 x}{( 9 + 4 x ^{2} ) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{n ( - 4 x ^{2} + 9 )}{( 9 + 4 x ^{2} ) ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle f' ( 0 ) = \frac{n}{9}$ ㄴ. (참) $f' ( x ) = 0$에서 $\displaystyle x = \pm \frac{3}{2}$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {} f ( x ) = 0$이므로 $x$축이 점근선이다. $\displaystyle f ( 0 ) = 0 , f' ( 0 ) = \frac{n}{9}$이므로 $n = 9$일 때, $y = x$는 원점에서 접하는 직선이 된다. 따라서 $n \leq 9$일 때, $\displaystyle f' ( 0 ) = \frac{n}{9} \leq 1$이므로 함수 $y = g ( t )$의 그래프는 [그림1]과 같이 함수 $y = f ( t )$의 그래프와 같다. 한편 $n > 9$이면 함수 $y = g ( t )$의 그래프는 [그림2]와 같이 일부분이 함수 $y = t$의 그래프와 같아진다.

따라서 함수 $g ( t )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 $n$의 개수는 9이다. ㄷ. (거짓) 함수 $g ( t )$가 미분가능하지 않는 $t$의 값이 존재하려면 $n > 9$이어야 한다. 한편 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \pm \frac{3}{2}$에서 항상 극값을 가진다. 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2}$이 되도록 $n$의 값을 선택하면 [그림3]과 같이 $\displaystyle t = \pm \frac{3}{2}$에서 함수 $g ( t )$는 극값을 갖지만 이 두 점에서 미분가능하지 않다. 이때 $n = 18$이므로 $n$의 최솟값은 18이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.