공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

α³·β³ 분수방정식

문제

이차방정식 x2−3x+1=0x ^{2} - 3 x + 1 = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, 분수방정식 x−β3x−α3+x−α3x−β3+2=0\displaystyle \frac{x - \beta ^{3}}{x - \alpha ^{3}} + \frac{x - \alpha ^{3}}{x - \beta ^{3}} + 2 = 0의 근은? [3점] ①172\displaystyle \frac{17}{2}②99③192\displaystyle \frac{19}{2}④1010⑤212\displaystyle \frac{21}{2}

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②

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해설

α+β=3,αβ=1\alpha + \beta = 3 , \alpha \beta = 1 주어진 분수방정식의 양변에 (x−α3)(x−β3)( x - \alpha ^{3} ) ( x - \beta ^{3} )을 곱하면 (x−β3)2+(x−α3)2+2(x−α3)(x−β3)=0( x - \beta ^{3} ) ^{2} + ( x - \alpha ^{3} ) ^{2} + 2 ( x - \alpha ^{3} ) ( x - \beta ^{3} ) = 0 4x2−4(α3+β3)x+(α3+β3)2=04 x ^{2} - 4 ( \alpha ^{3} + \beta ^{3} ) x + ( \alpha ^{3} + \beta ^{3} ) ^{2} = 0 →α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=18\rightarrow \alpha ^{3} + \beta ^{3} = ( \alpha + \beta ) ^{3} - 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) = 18 ∴x2−18x+81=0∴x=9\therefore x ^{2} - 18 x + 81 = 0 \therefore x = 9

태그

#근과 계수의 관계#분수방정식

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