분수 끼워 넣기 규칙

다음은 $0$과 $1$ 사이의 분수를 단계적으로 나타내는 규칙이다.

[$1$단계] : $\displaystyle \frac{0}{1}$과 $\displaystyle \frac{1}{1}$을 쓴다. [$2$단계] : $\displaystyle \frac{0}{1}$과 $\displaystyle \frac{1}{1}$을 쓴 다음, 그 사이에 $\displaystyle \frac{0 + 1}{1 + 1}$ $\displaystyle \left( = \frac{1}{2} \right)$을 써 넣는다. $\vdots$ [$n + 1$단계] : [$n$단계]에 있는 분수를 그대로 쓴 다음, 이웃한 두 분수 $\displaystyle \frac{b}{a} , \frac{d}{c}$ 사이에는 $\displaystyle \frac{b + d}{a + c}$를 써 넣는다. ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)

다음은 위의 규칙에 따라 나타낸 분수의 일부이다. [$4$단계] $\displaystyle \frac{0}{1}$ $\displaystyle \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $\displaystyle \frac{2}{5}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{3}{5}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{3}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{1}$ [$3$단계] $\displaystyle \frac{0}{1}$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{1}{1}$ [$2$단계] $\displaystyle \frac{0}{1}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{1}$ [$1$단계] $\displaystyle \frac{0}{1}$ $\displaystyle \frac{1}{1}$

[$n$단계]에서 나타나는 모든 분수의 합을 $a _{n}$이라 할 때, $a _{n} > 1000$을 만족시키는 자연수 $n$의 최소값은? [4점] ①$12$②$13$③$14$④$15$⑤$16$