대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

분수 군수열의 합

문제

2\mathrm{2} 이상의 자연수 nn에 대하여 분모는 2n2 ^{n}꼴이고, 분자는 분모보다 작은 홀수인 모든 분수로 이루어진 다음 수열에서 첫째 항부터 제126\mathrm{126}항까지의 합을 구하시오. [4점] 122\displaystyle \frac{1}{2 ^{2}}, 322\displaystyle \frac{3}{2 ^{2}}, 123\displaystyle \frac{1}{2 ^{3}}, 323\displaystyle \frac{3}{2 ^{3}}, 523\displaystyle \frac{5}{2 ^{3}}, 723\displaystyle \frac{7}{2 ^{3}}, 124\displaystyle \frac{1}{2 ^{4}}, 324\displaystyle \frac{3}{2 ^{4}}, ⋯\cdots

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63

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해설

주어진 수열을 분모가 같은 것끼리 군으로 묶으면

(122,322),\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{2}} , \frac{3}{2 ^{2}} \right) ,(123,323,523,723),\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{3}} , \frac{3}{2 ^{3}} , \frac{5}{2 ^{3}} , \frac{7}{2 ^{3}} \right) ,
제11군제22군
(124,324,524,724,⋯ ,1524),\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{4}} , \frac{3}{2 ^{4}} , \frac{5}{2 ^{4}} , \frac{7}{2 ^{4}} , \cdots , \frac{15}{2 ^{4}} \right) ,⋯\cdots
제33군⋯\cdots

이때, 각 군의 항 수가 2,4,8,⋯2 , 4 , 8 , \cdots이므로 제nn군까지의 항 수는 ∑k=1n2k=2(2n−1)2−1=2(2n−1)\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} 2 ^{k} = {2 \left( 2 ^{n} - 1 ) \right. {2 - 1} = 2 ( 2 ^{n} - 1 )} 2(2n−1)=1262 ( 2 ^{n} - 1 ) = 126에서 2n−1=632 ^{n} - 1 = 63 2n=642 ^{n} = 64∴n=6\therefore n = 6 따라서, 제66군까지의 항 수가 126126이므로 구하는 합은 제11군부터 제66군까지의 합이다. 한편, 제nn군의 분모는 2n+12 ^{n+1}이고, 분자의 합은 ∑k=12n(2k−1)\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{2} {}^{n} ( 2 k - 1 )=2∑k=12nk−2n\displaystyle = 2 \sum\limits _{{k} = 1} ^{2} {}^{n} k - 2 ^{n}=2⋅2n(1+2n)2−2n\displaystyle = 2 \cdot \frac{2 ^{n} ( 1 + 2 ^{n} )}{2} - 2 ^{n}=4n= 4 ^{n} 따라서, 구하는 합은 ∑n=164n2n+1=∑n=162n−1=26−12−1=64−1=63\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{6} \frac{4 ^{n}}{2 ^{n+1}} = \sum\limits _{{n} = 1} ^{6} 2 ^{n-1} = \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 64 - 1 = 63

태그

#군수열#등비수열#시그마

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