공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

분수 부등식 증명

문제

다음은 양의 실수 aa, bb, cc에 대하여 부등식 1a+b+1b+c+1c+a≤(a+b+c)26abc\displaystyle \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{6 abc} 이 성립함을 증명한 것이다.

[증명] 양의 실수 a,b,ca , b , c에 대하여 (a+b)2−4ab=□(가)≥0( a + b ) ^{2} - 4 ab = {\square {( \text{가} )}} \geq 0 이므로 4ab≤(a+b)24 ab \leq ( a + b ) ^{2} 이고, 같은 방법으로 4bc≤(b+c)24 bc \leq ( b + c ) ^{2}, 4ca≤(c+a)24 ca \leq ( c + a ) ^{2} 이므로 4abc(1a+b+1b+c+1c+a)\displaystyle 4 abc \left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right) =4aba+bc+4bcb+ca+4cac+ab\displaystyle = \frac{4 ab}{a + b} c + \frac{4 bc}{b + c} a + \frac{4 ca}{c + a} b ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} (나)

이다. 한편, a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - bc - ca \geq 0에서 ab+bc+ca≤(a+b+c)2□(다)\displaystyle ab + bc + ca \leq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{{\square {( \text{다} )}}} ⋯⋯\cdots \cdots㉡ 이다. 따라서 ㉠\text{㉠}, ㉡\text{㉡}으로부터 4abc(1a+b+1b+c+1c+a)≤23(a+b+c)2⋯⋯㉢\displaystyle 4 abc \left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right) \leq \frac{2}{3} ( a + b + c ) ^{2} \cdots \cdots \text{㉢} 이다. 이때, ㉢\text{㉢}의 양변을 4abc4 abc로 나누면 1a+b+1b+c+1c+a≤(a+b+c)26abc\displaystyle \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{6 abc} 이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①(a−b)2( a - b ) ^{2}2(ab+bc+ca)2 ( ab + bc + ca )44
②(a−b)2( a - b ) ^{2}2(ab+bc+ca)2 ( ab + bc + ca )33
③(a−b)2( a - b ) ^{2}4(ab+bc+ca)4 ( ab + bc + ca )44
④(a−2b)2( a - 2 b ) ^{2}2(ab+bc+ca)2 ( ab + bc + ca )33
⑤(a−2b)2( a - 2 b ) ^{2}4(ab+bc+ca)4 ( ab + bc + ca )44
정답 보기
②

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해설

[출제의도] 절대부등식을 증명하기 양의 실수 a,b,ca , b , c에 대하여 (a+b)2−4ab=(a−b)2≥0( a + b ) ^{2} - 4 ab = ( a - b ) ^{2} \geq 0이므로 4ab≤(a+b)24 ab \leq ( a + b ) ^{2}이고, 같은 방법으로 4bc≤(b+c)2,4ca≤(c+a)24 bc \leq ( b + c ) ^{2} , 4 ca \leq ( c + a ) ^{2}이므로 4abc(1a+b+1b+c+1c+a)\displaystyle 4 abc \left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right) =4aba+bc+4bcb+ca+4cac+ab\displaystyle = \frac{4 ab}{a + b} c + \frac{4 bc}{b + c} a + \frac{4 ca}{c + a} b ≤(a+b)2a+bc+(b+c)2b+ca+(c+a)2c+ab\displaystyle \leq \frac{( a + b ) ^{2}}{a + b} c + \frac{( b + c ) ^{2}}{b + c} a + \frac{( c + a ) ^{2}}{c + a} b =2(ab+bc+ca)= 2 ( ab + bc + ca ) ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠}이다. 한편, a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - bc - ca \geq 0 ⇔ (a+b+c)2−3(ab+bc+ca)≥0( a + b + c ) ^{2} - 3 ( ab + bc + ca ) \geq 0 ⇔ ab+bc+ca≤(a+b+c)23\displaystyle ab + bc + ca \leq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{3} ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡}이다. 따라서 ㉠\text{㉠}, ㉡\text{㉡}으로부터 4abc(1a+b+1b+c+1c+a)\displaystyle 4 abc \left( \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \right) ≤23(a+b+c)2\displaystyle \leq \frac{2}{3} ( a + b + c ) ^{2} ⋯⋯㉢\cdots \cdots \text{㉢}이다. 이때, ㉢\text{㉢}의 양변을 4abc4 abc로 나누면 1a+b+1b+c+1c+a≤(a+b+c)26abc\displaystyle \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{6 abc}이다. ∴ (가) (a−b)2( a - b ) ^{2}, (나) 2(ab+bc+ca)2 ( ab + bc + ca ), (다) 33

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#절대부등식#증명 빈칸

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